江苏高考专题练习（理科）：双曲线

 

[A级　基础达标练]

一、填空题

1.(2014·苏州调研)已知双曲线x2-=1(m>0)的离心率为2，则m的值为________.

[解析]　a2=1，b2=m，c=，e===2，m=3.

[答案]　3

2.(2014·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1的一个焦点为(5,0)，则实数m=________.

[解析]　由题设知a2=9，b2=m，9+m=25，m=16.

[答案]　16

3.(2014·苏州四市期末检测)已知双曲线-=1的一条渐近线方程为2x-y=0，则该双曲线的离心率为________.

[解析]　由题意得=2，b=2a，c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，

c=a，e==.

[答案]

4.(2014·南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的离心率为，且过点(1，)，则曲线C的标准方程为________.

[解析]　由离心率>1知曲线C是双曲线.双曲线的离心率为，该双曲线为等轴双曲线，

设双曲线方程为x2-y2=m，将点(1，)坐标代入，得1-2=m，

m=-1故双曲线方程为y2-x2=1.

[答案]　y2-x2=1

5.(2014·徐州市、宿迁市质检)已知点P(1,0)到双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为________.

[解析]　渐近线方程为y=±x即bx±ay=0，=，整理得=，故e= = =.

[答案]

6.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________.

[解析]　依题意c-a=1，

又e==2，即c=2a，

由联立，得a=1，c=2.

b2=c2-a2=3，故双曲线C为x2-=1.

[答案]　x2-=1

7.(2014·泰州期末检测)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为________.

[解析]　因为以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，故F1PF2=90°，又PF1F2=30°，F1F2=2c，PF1=c，PF2=c，由双曲线的定义知2a=PF1-PF2=(-1)c，e===+1.

[答案]　+1

8.(2014·盐城模拟)若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为点A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为________.

[解析]　由题意，得OA=OF=AF，=tan =，

e= =2.

[答案]　2

二、解答题

9.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

(1)虚轴长为12，离心率为;

(2)焦距为26，且经过点M(0,12).

(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6，-7).

(4)右焦点为(，0)且与双曲线-=1有相同的渐近线.

[解]　(1)设双曲线的标准方程为

-=1或-=1(a>0，b>0).

由题意知：2b=12，e==.

b=6，c=10，a=8.

双曲线的标准方程为-=1或-=1.

(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12.

又2c=26，c=13.b2=c2-a2=25.

双曲线的标准方程为-=1.

(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).

解得

双曲线的标准方程为-=1

(4)双曲线C与C′：-=1有相同的渐近线，

设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0).

则双曲线C：-=1，

又双曲线C的右焦点为(，0)，

c=，则4λ+16λ=5，λ=.

故所求双曲线C的方程为x2-=1.

10.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的倾斜角为，点(-4，-6)在双曲线上，直线l的方程为x-my-4=0.

(1)求双曲线的方程;

(2)若l与双曲线的右支相交于A，B两点，试证：以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交.

[解]　(1)由题意，设双曲线的方程为3x2-y2=λ，

点(-4，-6)在双曲线上，λ=3×42-62=12，

故所求双曲线的方程为-=1.

(2)由l的方程为x-my-4=0，且l过双曲线的右焦点F(4,0)，

设AB的中点为M.A，B，M在右准线上的射影分别为A1，B1，M1，

则==e=2，

所以=2，即=AA1+BB1，

所以圆M的半径R=2MM1=2d，所以d=R0，b>0)与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是________.

[解析]　因为双曲线的渐近线为y=±x，

要使直线y=x与双曲线无交点，则直线y=x应在两渐近线之间.

所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，

c2-a2≤3a2，则c2≤4a2，故10，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________.

[解析]　设PF1的中点为M，由|PF2|=|F1F2|得F2MPF1，由F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，知|F2M|=2a，在RtF1F2M中，|F1M|==2b，故|PF1|=4b.根据双曲线的定义，得4b-2c=2a即2b-a=c，(2b-a)2=c2=a2+b2，3b=4a，

双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±x即4x±3y=0

[答案]　4x±3y=0