江苏高考专题练习（理科）：椭圆

【变式训练1】　(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________.

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是+=1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则ABF2的周长为________.

[解析]　(1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上;c=1.

又离心率为=，故a=2，b2=a2-c2=4-1=3，

故椭圆的方程为+=1.

(2)a>5，椭圆的焦点在x轴上，

|F1F2|=8，c=4，

a2=25+c2=41，则a=.

由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a，

ABF2的周长为4a=4.

[答案]　(1)+=1　(2)4考向2　椭圆的几何性质

【典例2】　(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=d1，则椭圆C的离心率为________.

(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|=2|PF2|，PF1F2=30°，则椭圆的离心率为________.

[解析]　(1)依题意，d2=-c=.又BF==a，所以d1=.由已知可得=·，所以c2=ab，即6c4=a2(a2-c2)，整理可得a2=3c2，所以离心率e==.

(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得

sinPF2F1=1，即PF2F1=，

设|PF2|=1，则|PF1|=2，|F2F1|=，

离心率e==.

[答案]　(1)　(2),【规律方法】

1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a，c的关系.

2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

(1)求出a，c，代入公式e=;

(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).