江苏高考专题练习（理科）：双曲线

【典例1】　(1)(2014·南京模拟)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________.

(2)(2014·镇江质检)已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=________.

(3)已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________.

[解析]　(1)由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a=8，即a=4，

由椭圆的离心率知=，c=5，

b2=c2-a2=25-16=9，

曲线C2的标准方程为-=1.

(2)由x2-y2=2，知a=b=，c=2.

由双曲线定义，|PF1|-|PF2|=2a=2，

又|PF1|=2|PF2|，

|PF1|=4，|PF2|=2，

在PF1F2中，|F1F2|=2c=4，由余弦定理，得

cosF1PF2==.

(3)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4，则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|+|PA|)min=|AE|=5，从而|PF|+|PA|的最小值为9.

【变式训练1】　(1)(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：-=1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为________.

(2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线，且过点M(2，-2)的双曲线方程为________.

(3)设P是双曲线-=1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=________.

[解析]　(1)由双曲线方程知a=3，b=4，c=5.

|PQ|=2·(2b)=16.

由左焦点F(-5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，

PQ过右焦点A，P，Q在双曲线的右支上，

根据双曲线定义，|PF|-|PA|=2a，|QF|-|QA|=2a，

|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|)=4a，

于是|PF|+|QF|=|PQ|+4a=16+4×3=28.

故PQF的周长为28+|PQ|=28+16=44.

(2)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k，将点(2，-2)代入得k=-(-2)2=-2.

双曲线的标准方程为-=1.

(3)由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8，又|PF1|=9，|PF2|=1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1，|PF2|=17.

[答案]　(1)44　(2)-=1　(3)17考向2　双曲线的几何性质(高频考点)