[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·北京高考改编)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得APB=90°,则m的最大值为________.
[解析] 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.因为APB=90°,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|==5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.
[答案] 6
2.(2014·扬州质检)若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________.
[解析] 由题意O1与O在A处的切线互相垂直,
则两切线分别过另一圆的圆心,
所以O1AOA.
又|OA|=,|O1A|=2,
|OO1|=5,
又A、B关于OO1对称,
所以AB为RtOAO1斜边上高的2倍,
|AB|=2×=4.
[答案] 4
二、解答题
3.已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点,A(6,2),B(8,0),圆C是OAB的外接圆,过点(2,6)的直线l被圆C所截得的弦长为4.
(1)求圆C的方程及直线l的方程;
(2)设圆N的方程为(x-4-7cos θ)2+(y-7sin θ)2=1(θR),过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求·的最大值.
[解] (1)因为A(6,2),B(8,0),所以OAB为以OB为斜边的直角三角形,所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16.
当直线l的斜率不存在时,l:x=2,被圆C截得的弦长为4,所以l:x=2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l:y-6=k(x-2),即kx-y+6-2k=0.
因为被圆C截得弦长为4,所以圆心C到直线的距离为2.
所以=2,解得k=-,所以l:y-6=-(x-2),即4x+3y-26=0.
综上,直线l的方程为x=2或4x+3y-26=0.
(2)因为圆心N(4+7cos θ,7sin θ),若设N(x,y),则所以(x-4)2+y2=49.
即圆心N在以(4,0)为圆心,7为半径的圆周上运动.
如图,设ECF=2α,则·=||·||·cos 2α=16cos 2α=32cos2α-16.
在RtPCF中,cos α==.由圆的几何性质得NC+1≥PC≥NC-1=7-1=6,所以≤cos α≤.由此可得·≤-,则·的最大值为-.
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